具有孤立奇点和线奇点的某些 Monge-Ampère 方程的解

本文研究了具有孤立奇点和线奇点的某些 Monge-Ampère 方程解的存在性、正则性、分类及渐近行为。我们对 $\R^n$ 中具有一个穿孔点的 $\det \nabla^2 u=1$ 的所有解进行了分类。这可应用于刻画椭球体，其精神与 Laplace 算子的 Serrin 超定问题相同。在 $k>1$ 个不可去奇异点的情况下，模去仿射等价，所有广义解的集合可被识别为一个有限维的显式轨形。我们还建立了具有通用奇异集的全局解的存在性、正则性性质，以及广义解在由点或直线组成的奇点附近的二阶导数的最优估计。其几何动机来源于奇异半平坦 Calabi-Yau 度规。