椭圆Monge-Ampère方程奇异解的快速有限差分求解器

椭圆Monge-Ampère方程是一个完全非线性偏微分方程，起源于几何曲面理论，并已应用于动力气象学、弹性力学、几何光学、图像处理和图像配准。其解可能是奇异的，此时标准数值方法会失效。本文构建了一个针对Monge-Ampère方程的有限差分求解器，即使对于奇异解也能收敛。利用正则性结果，在计算域的不同区域先验地选择稳定的、可证明收敛的单调离散格式和精确的有限差分离散格式。这使得奇异解能够通过稳定方法计算，而正则解则能更精确地计算。由此产生的非线性方程组通过牛顿法求解。二维和三维的计算结果验证了精度和求解速度的声称。文中给出的计算示例证明了在奇点附近使用单调格式的必要性。