一种求解带输运边界条件椭圆 Monge-Ampère 方程的数值方法

最优质量输运问题在图像配准、网格生成、反射器设计及天体物理等众多应用中均有出现。求解该问题的一种途径是通过 Monge-Ampère 方程。尽管近年来该方程数值解法的研究已取得诸多进展，但在输运边界条件的实现方面工作甚少。本文提出了一种通过迭代求解带 Neumann 边界条件的 Monge-Ampère 方程来解决输运问题的方法。为实现可变密度间的映射，我们扩展了该方程的早期离散化格式，使其允许右端项依赖于解的梯度 [Froese and Oberman, SIAM J. Numer. Anal., 49 (2011) 1692--1714]。该离散化格式可证明收敛于粘性解。所得方程组用牛顿法高效求解。我们提供了若干具有挑战性的计算实例，证明了所提方法的有效性和高效性（$O(M)-O(M^{1.3})$ 时间）。