一种求解带传输边界条件的Monge-Ampère方程的神经网络方法
机器学习
2024-10-28 v1
摘要
本文介绍了一种新颖的基于神经网络的方法来求解带传输边界条件的Monge-Ampère方程，特别针对光学设计应用。我们利用多层感知器网络，通过最小化包含方程残差、边界条件和凸性约束的损失函数来学习近似解。我们的主要结果通过一系列测试案例证明了该方法的有效性，这些案例包括对称和非对称的圆到圆、方到圆以及圆到花形反射器映射问题。使用L-BFGS进行优化。与传统最小二乘有限差分求解器的比较分析表明，在我们检查的测试案例中，我们的神经网络方法具有竞争力，且通常性能更优。一项全面的超参数研究进一步阐明了采样密度、网络架构和优化算法等因素的影响。尽管前景广阔，但仍需进一步研究以验证该方法对更复杂问题的鲁棒性，并确保一致的收敛性。尽管如此，这种基于神经网络的方法的简单性和适应性使其成为专用偏微分方程求解器的一个有吸引力的替代方案。
引用
@article{arxiv.2410.19496,
title = {A neural network approach for solving the Monge-Amp\`ere equation with transport boundary condition},
author = {Roel Hacking and Lisa Kusch and Koondanibha Mitra and Martijn Anthonissen and Wilbert IJzerman},
journal= {arXiv preprint arXiv:2410.19496},
year = {2024}
}