使用 Legendre-Kolmogorov-Arnold 网络方法求解完全非线性 Monge-Ampère 方程
数值分析
2025-04-08 v1 数值分析
摘要
在本文中，我们提出了一种新的神经网络框架，即 Legendre-Kolmogorov-Arnold 网络（Legendre-KAN）方法，用于求解带有 Dirichlet 边界条件的完全非线性 Monge-Ampère 方程。该架构利用 Legendre 多项式的正交性作为基函数，与传统方法相比，显著提高了收敛速度和求解精度。此外，Kolmogorov-Arnold 表示定理为网络的可解释性和优化提供了坚实的理论基础。我们通过涉及不同维度下光滑解和奇异解的数值例子证明了所提方法的有效性。这项工作不仅解决了求解高维和奇异 Monge-Ampère 方程的挑战，还突出了基于神经网络的方法在处理复杂偏微分方程方面的潜力。此外，该方法被应用于图像映射中的最优传输问题，展示了其在几何图像变换中的实用价值。这种方法有望为进一步提升基于 KAN 的应用以及广泛科学与工程领域中的偏微分方程数值求解铺平道路。
引用
@article{arxiv.2504.05022,
title = {Solving the fully nonlinear Monge-Amp\`ere equation using the Legendre-Kolmogorov-Arnold Network method},
author = {Bingcheng Hu and Lixiang Jin and Zhaoxiang Li},
journal= {arXiv preprint arXiv:2504.05022},
year = {2025}
}
备注
20 pages, 12 figures