关于带周期 Monge-Ampère 测度的凸函数的 Liouville 定理

我们研究 Monge-Ampère 方程 $$\det D^2 u = \mu \quad \text{在 } \mathbb{R}^n,$$ 中的全局凸解，其中 $\mu \not\equiv 0$ 为 $\mathbb{R}^n$ 上非负局部有限的周期布尔测度。我们证明了一个 Liouville 类型定理，表明每个此类解都可唯一分解（最多加一个常数）为二次多项式与周期函数的和。这一结果扩展了 Caffarelli-Li 和 Li-Lu 的早期结果，这些结果要求 $\mu$ 具有光滑或受限于对数界的密度，涵盖周期测度的完全一般性，允许退化和奇点。关键工具是一种新的二分法 Harnack 不等式，用于带非负周期测度的线性化 Monge-Ampère 方程，该不等式弥补了在退化情形下失去的倍增和包围性质。当 $\mu$ 为支持于整数格上的周期 Dirac 测度时，我们指出，解（最多加一个线性函数）与 $\mathbb{R}^n$ 的 Dirichlet-Voronoi 图之间存在一一对应关系。