关于混合测度与单调性的退化Monge--Ampère方程的变分方法
偏微分方程分析
2026-03-20 v1
摘要
我们研究了若干退化Monge--Ampère方程的可解性与唯一性，包括实欧几里得空间中的Monge--Ampère特征值问题，这些方程涉及奇异布尔测度。我们从变分角度系统地分析Monge--Ampère能量，并合理地利用单调性论证。我们的主要工具包括混合Monge--Ampère测度、Aleksandrov--Blocki--Jerison型最大原理、积分分部、凸包以及次临界方程的比较原理。对于Monge--Ampère特征值问题，我们对比了能量类内外的分析；即使在能量类中可能不存在解，我们也展示了Rayleigh商的下确界可通过截断测度的Monge--Ampère特征值以及反迭代方案的Rayleigh商从上方近似。我们给出例子表明，对于非常奇异的布尔测度，Monge--Ampère特征值问题仅在能量类之外存在解，并出现对称性破缺和非唯一性。
关键词
引用
@article{arxiv.2603.19114,
title = {A Variational Approach to Degenerate Monge--Amp\`ere Equations with Mixed Measures and Monotonicity},
author = {Nam Q. Le},
journal= {arXiv preprint arXiv:2603.19114},
year = {2026}
}