关于奇异与退化 Monge-Ampère 方程尖锐边界估计的注记

通过构造适当的光滑、可能非凸的上解，我们建立了在 $\mathbb{R}^n$ 中有界域上具零边界条件的奇异与退化 Monge-Ampère 方程 $\det D^2 u =|u|^q$ 的非平凡解模长在边界附近的尖锐下界。这些界意味着当前已知的这些方程的全局 Hölder 正则性结果对所有负的 $q$ 是最优的，且对 $0\leq q\leq n-2$ 几乎是尖锐的。我们的研究还确立了具有限总 Monge-Ampère 测度的 Monge-Ampère 方程凸解的全局 $C^{\frac{1}{n}}$ 正则性的最优性。此外，当 $0\leq q<n-2$ 时，唯一解在其梯度在边界任意平坦部分附近爆破。 $q=0$ 的情形与二聚体模型中的表面张力相关。我们还获得了新的全局 log-Lipschitz 估计，并将其应用于具退化边界数据的 Abreu 方程。