完全非线性退化椭圆方程的内部正则性，II：实与复 Monge-Ampère 方程

首先，我们在 $\mathbb R^d$ ($d\ge2$) 中的有界、$C^3$ 光滑且严格凸域内，获得了退化实 Monge-Ampère 方程的内部 $C^{1,1}$ 正则性和可解性，假设边界数据仅为全局 $C^{1,1}$，且非负右端项的 $d$ 次根在加上 $K|x|^2$（$K$ 为某常数）后是全局 $C^{0,1}$ 且凸的。然后，我们在 $\mathbb C^d$ 中的有界、$C^3$ 光滑且严格伪凸域内，建立了退化复 Monge-Ampère 方程的内部 $C^{1,1}$ 正则性和可解性，其前提是边界数据具有全局 $C^{1,1}$ 正则性，且非负右端项的 $d$ 次根满足相应条件。由于在我们的边界数据正则性假设下，导数可能在边界处沿非切向方向发散，我们也对这两个问题中的二阶导数进行了估计。我们的技术是概率性的，遵循 Krylov 的方法。实情形下的结果推广了 N. Trudinger 和 J. Urbas 关于齐次情形的内部 $C^{1,1}$ 正则性结果 [N. Trudinger and J. Urbas, Bull. Austral. Math. Soc., 30(3): 321~334, 1984.]，因为它考虑了非负右端项。复情形下的结果推广了 E. Bedford 和 B. A. Taylor 在球体内的内部 $C^{1,1}$ 正则性结果 [E. Bedford and B. A. Taylor, Invent. Math., 37(1): 1~44, 1976.]，允许域为任意有界、足够光滑且严格伪凸的区域。