退化 Monge-Amp\`ere 方程的 Schauder 估计与特征函数的光滑性

我们获得了如下类型退化 Monge-Amp\`ere 方程解直至边界的 $C^{2,\beta}$ 估计：$$\det D^2 u = f~~\text{in}~\Omega, \quad \quad ~f\sim \text{dist}^{\alpha}(\cdot, \partial\Omega)~\text{near}~\partial\Omega,~\alpha>0.$$ 由此，我们得到了 $R^n$ 中光滑、有界、一致凸区域上 Monge-Amp\`ere 算子 $(\det D^2 u)^{1/n}$ 的特征函数直至边界的全局 $C^\infty$ 估计。