关于自由边界 Monge-Ampère 方程的一般类别

我们解答了一个关于自由边界 Monge-Ampère 方程的一般问题，其形式为\n\n$$\det D^2u = \lambda \dfrac{f(-u)}{g(u^\star)h(\nabla u)}\chi_{\{u<0\}} \; \text{ in } \mathbb{R}^n, \quad \nabla u (\mathbb{R}^n) = P$$\n\n其中 $P$ 为包含原点的有界凸集，$h>0$。我们讨论了关于最优输运（带退化密度）、Monge-Ampère 本征值问题以及几何问题（包括半球面 Minkowski 问题和toric Fano 流形上自由边界 K"ahler-Ricci 反力点）的应用。