Monge-Ampère 方程斜边界值问题的边界 $C^{2, \alpha}$ 正则性

我们研究 Monge-Ampère 方程斜边界值问题凸解边界截面的良好形状性质 $$\det D^2u =f(x) \text{ in } \Omega , \quad D_{\beta}u = \phi(x) \text{ on } \partial \Omega.$$ 在二维情形，我们证明了解的全局 $C^{2,\alpha}$ 估计。当维数 $n \geq 3$ 时，我们证明若该解在切向被二次函数从上界控制，则此估计仍成立。我们还获得了具有 Robin 斜边界条件的 Monge-Ampère 方程凸解的存在性结果。