Monge-Amp\`{e}re方程在H\"older空间中的非线性估计

我们证明了Monge-Amp\`{e}re方程的 $C^{2,\alpha}$ 估计以高度非线性的方式依赖于右端项的 $C^{\alpha}$ 范数以及 $1/\alpha$。首先，我们证明若解是严格凸的，则解的 $C^{2,\alpha}$ 范数多项式地依赖于右端项的 $C^{\alpha}$ 范数。其次，我们证明解的 $C^{2,\alpha}$ 范数在 $\alpha \to 0$ 时被 $\exp((C/\alpha)\log(1/\alpha))$ 控制。最后，我们构造了一族二维解以展示我们结果的尖锐性。