Monge-Amp\`ere方程的非二次解

我们在柱型域或整个复欧几里得空间 $\mathbb C^2$ 上构造了丰富的光滑且严格多重次调和的非二次 Monge-Amp\`ere 方程解。其中，定义在 $\mathbb C^2$ 上的整体解诱导出平坦的 Kähler 度量，正如 Calabi 的一个问题所预期的那样。相比之下，柱型域上的解则产生了一族无处平坦的 Kähler 度量。除了这些光滑解之外，我们还对在一个变量中具有径向对称性的解进行了分类，这些解表现出各种类型的奇点。最后，我们探索了由 He 的一个结果所启发的 Donaldson 方程的类似解。