某些奇异 Monge-Ampère 方程的全局 $C^{1,\beta}$ 与 $W^{2, p}$ 正则性

我们在适当的边界条件和域条件下，建立了形态 $$\det D^2 u \sim \text{dist}^{-\alpha}(\cdot,\partial\Omega),\quad \alpha\in (0, 1),$$ 的奇异 Monge-Ampère 方程的全局 $C^{1,\beta}$ 和 $W^{2, p}$ 正则性。我们的结果表明，凸 Aleksandrov 解对奇异 Monge-Ampère 方程 $$\det D^2 u=|u|^{-\alpha}\quad \text{in}\quad\Omega,\quad u=0\quad \text{in}\quad \partial\Omega, \quad \alpha\in (0, 1),$$ 其中 $\Omega$ 为 $C^3$、有界且均匀凸域，全局为 $C^{1,\beta}$ 且属于 $W^{2, p}$，其中 $p<1/\alpha$。