Monge-Ampère方程的锐全局Alexandrov估计与整个解

本文是我们之前工作[19]的延续，关于锐全局Alexandrov估计。我们获得了从凸函数到单模凸二次多项式类的锐全局均匀距离估计，依据其Monge-Ampère缺陷测度相对于Lebesgue测度的总变动。该估计具有明确的最优常数，且在正有限缺陷质量的区间内不等式严格。在该区间内，我们进一步证明了无穷处的渐近刚性：每个这样的凸函数都唯一地具有二次渐近线，并具有明确的收敛速率，并且满足锐全局Alexandrov估计——若且仅当函数解离散奇点问题或超平面障碍问题时，等号成立。标准次解方法在该度量论setting下通常不适用，且通常不得出锐常数，而我们之前工作[19]中发展的锐Alexandrov估计在此发挥核心作用。作为应用，对于Monge-Ampère方程的整个解（可能具有多个或无限多个离散奇点），我们给出明确的定量质量分离条件，确保严格凸性，从而在离散奇点集合之外实现光滑。