重访 Alexandrov 估计

Alexandrov 估计指出，如果 $\Omega$ 是 ${\mathbb R}^n$ 中的有界开凸域，且 $u:\bar \Omega\to {\mathbb R}$ 是 Monge-Ampere 方程 $\det D^2 u = f$ 的凸解，并在 $\partial \Omega$ 上为零，则 $$|u(x) - u(y)| \le \omega(|x-y|)(\int_\Omega f)^{1/n} \qquad \mbox{对 }\omega(\delta) = C_n\,\mbox{diam}(\Omega)^{\frac{n-1}n} \delta^{1/n}.$$ 我们基于 $\partial \Omega$ 的几何性质建立了该估计的多种改进。例如，我们证明若曲率远离 $0$ 有下界，则该估计在将 $\omega(\delta)$ 替换为 $C_\Omega \delta^{\frac 12 + \frac 1{2n}}$ 时仍然成立。当 $n=2$ 时我们确定了锐常数 $C_\Omega$，而当 $n\ge 3$ 且 $\partial \Omega$ 为 $C^2$ 时，我们确定了最优连续模 $\omega_\Omega(\delta)$ 当 $\delta\to 0$ 时的锐渐近性。对任意凸域，我们刻画了最优模 $\omega_\Omega$ 的标度关系。在非常温和的非退化条件下，我们的结果给出了改进的 Hölder 估计，即对某些 $\alpha>1/n$ 有 $\omega_\Omega(\delta) \le C \delta^\alpha$。