任意有界凸平面域上的尖锐Trudinger-Moser不等式

Wang和Ye在[22]中猜想：设 $\Omega$ 为 $\mathbb{R}^{2}$ 中正则、有界且凸的区域。存在有限常数 $C({\Omega})>0$ 使得 $$\int_{\Omega}e^{\frac{4\pi u^{2}}{H_{d}(u)}}dxdy\le C(\Omega),\;\;\forall u\in C^{\infty}_{0}(\Omega),$$ 其中 $H_{d}=\int_{\Omega}|\nabla u|^{2}dxdy-\frac{1}{4}\int_{\Omega}\frac{u^{2}}{d(z,\partial\Omega)^{2}}dxdy$ 且 $d(z,\partial\Omega)=\min\limits_{z_{1}\in\partial\Omega}|z-z_{1}|$。本文主要目的是通过Riemann映射定理（因此区域边界的光滑性无关紧要）证实该猜想确实对任何有界凸平面区域成立。我们还对双曲空间 $\mathbb{B}=\{z=x+iy:|z|=\sqrt{x^{2}+y^{2}}<1\}$ 上的以下Trudinger-Moser不等式给出无重排论证： $$\sup_{\|u\|_{\mathcal{H}}\leq 1} \int_{\mathbb{B}}(e^{4\pi u^{2}}-1-4\pi u^{2})dV=\sup_{\|u\|_{\mathcal{H}}\leq 1}\int_{\mathbb{B}}\frac{(e^{4\pi u^{2}}-1-4\pi u^{2})}{(1-|z|^{2})^{2}}dxdy< \infty,$$ 使用较早由Lam和第一作者[9, 10]采用的方法，其中 $\mathcal{H}$ 表示 $C^{\infty}_{0}(\mathbb{B})$ 关于范数 $$\|u\|_{\mathcal{H}}=\int_{\mathbb{B}}|\nabla u|^{2}dxdy-\int_{\mathbb{B}}\frac{u^{2}}{(1-|z|^{2})^{2}}dxdy.$$ 的闭包。利用此加强的Trudinger-Moser不等式，我们也给出由Wang和Ye[22]获得的Hardy-Moser-Trudinger不等式的更简单证明。