平面 H"older-$\alpha$ 区域上散度的右逆

如果 $\Omega\subset\R^n$ 是一个有界区域，那么对于均值为零的 $f\in L^2(\Omega)$，存在 ${\bf u}\in H^1_0(\Omega)^n$ 使得 ${div} {\bf u} = f$，这是 Stokes 方程分析中的一个基本结果。特别是，它允许证明存在解 $({\bf u},p)\in H^1_0(\Omega)^n\times L^2(\Omega)$，其中 ${\bf u}$ 是速度，$p$ 是压力。已知上述结果在 $\Omega$ 为 Lipschitz 区域时成立，但对于任意 H"older-$\alpha$ 区域则不成立。在本文中，我们证明了如果 $\Omega$ 是平面单连通 H"older-$\alpha$ 区域，则存在散度的右逆，其在适当的加权空间中是连续的，其中权重是到边界距离的幂。此外，我们证明了所得结果中距离的幂是最优的。在我们的结果中，零边界条件被较弱的条件所取代。对于具有幂型外尖点的区域这一特殊情况，我们证明了较弱的边界条件等价于标准条件。在这种情况下，我们证明了 Stokes 方程在适当的加权 Sobolev 空间中的适定性，从而得出存在解 $({\bf u},p)\in H^1_0(\Omega)^n\times L^r(\Omega)$，其中某些 $r<2$ 取决于尖点的幂次。