散度方程的可解性通过 Poincar\'e 不等式蕴含 John 性质

设 $\Omega \subset \rr^2$ 为一个有界单连通区域。我们证明，对于固定的（或任意的）$p\in (1,\fz),$ 散度方程 $\mathrm{div}\,\mathbf{v}=f$ 在 $W^{1,p}_0(\Omega)^2$ 中对每个 $f\in L^p_0(\Omega)$ 可解，当且仅当 $\Omega$ 是一个 John 区域，当且仅当加权 Poincar\'e 不等式 $$\int_\Omega|u(x)-u_{\Omega}|^q\,dx\le C\int_\Omega|\nabla u(x)|^q\dist(x,\partial \Omega)^q\,dx$$ 对某些（或任意）$q\in [1,\fz)$ 成立。在更高维空间中，在对所涉区域附加某些假设下证明了类似的结果。