正则域分解为具有一致常数的 John 域

我们推导了正则二维域分解为具有一致常数的 John 域的一个分解结果。我们证明，对于每个具有 $C^1$-边界的单连通域 $\Omega \subset {\Bbb R}^2$，存在相应的划分 $\Omega = \Omega_1 \cup \ldots \cup \Omega_N$，满足 $\sum_{j=1}^N \mathcal{H}^1(\partial \Omega_j \setminus \partial \Omega) \le \theta$，使得每个分支都是一个 John 域，其 John 常数仅依赖于 $\theta$。该结果意味着 Sobolev 空间中的许多不等式（如 Poincaré 不等式或 Korn 不等式）在 $\Omega$ 的划分上以独立于 $\Omega$ 的一致常数成立。