单连通区域的边界可达部分

对于有界单连通区域 $\Omega\subset\mathbb{R}^2$、任意点 $z\in\Omega$ 以及任意 $0<\alpha<1$，我们给出了 $\Omega$ 边界中可由一条 John 曲线连接到 $z$ 的点集的 $\alpha$ 维 Hausdorff 容度的下界，其中该 John 曲线具有仅依赖于 $\alpha$ 的合适 John 常数，且该下界以 $z$ 到 $\partial\Omega$ 的距离表示。事实上，边界中的这个集合包含了以 $z$ 为中心的 $\Omega$ 的 John 子区域 $\Omega_z$ 的边界与 $\Omega$ 的边界的交集 $\partial\Omega_z\cap\partial\Omega$。这可以理解为 Makarov 结果的一个定量版本。然后应用该估计得到了加权 Hardy 不等式的逐点版本。