图的组合边界与势论

设 $G=(V,E)$ 为有限连通图。我们研究一种边界概念 $\partial G \subseteq V$，并论证其从势论角度看是良好行为的。这通过证明若干离散化的经典结果来实现，针对紧凑域 $\Omega \subset \mathbb{R}^d$。这些包括：(1) 随机游走在 $\Omega$ 中通常在 $\lesssim \mbox{diam}(\Omega)^2$ 时间内到达边界 $\partial \Omega$ 的类结果、(2) 拉贝尔-克拉恩不等式的类结果、(3) 哈里德不等式的类结果、(4) 亚历山大罗夫-巴克曼-普卡斯估计的类结果、(5) 热点位置的稳定性估计、(6) 布约克定理：最大化 $\int_{\Omega \times \Omega} \|x-y\|^{\alpha} d\mu(x) d\mu(y)$ 的概率测度 $\mu$ 完全位于边界上。