图的边界及其等周不等式

我们对任意图 $G=(V,E)$ 定义一个边界 $\partial G \subseteq V$。该定义与人们对（足够好的）欧氏域离散化所期望的边界一致，并包含 Chartrand-Erwin-Johns-Zhang 边界中的所有顶点。此外，它满足一个等周原理：顶点数多的图除非含有长路径，否则边界很大——我们证明对于最大度数为 $\Delta$ 的图有 $$| \partial G| \geq \frac{1}{2\Delta} \frac{|V|}{\mbox{diam}(G)}.$$ 对于离散化欧氏域的图，有 $\mbox{diam}(G) \sim |V|^{1/d}$，从而恢复了经典欧氏等周原理的标度关系。