$\mathbb{Z}^n$ 上一类图的边边界

我们考虑顶点集为 $\mathbb{Z}^n$ 的一类图，其中当两个顶点的 $\ell_\infty$-距离为 1 时，它们由一条边连接。为了建立该图的边等周不等式，我们计算了任意有限集 $S \subset \mathbb{Z}^n$ 的边边界。这一边界计算引出了证明具有最优边边界的集合在任何方向 $\epsilon \in \{-1,0,1\}^n, \epsilon \not=0$ 上都没有“间隙”的愿望。我们证明了可以找到一个具有最优边边界的集合，该集合在任何标准基向量 $e_i$（或 $-e_i$）方向上都没有间隙。