通过图的重浸没证明广义等周不等式

我们证明了一个与球面微分同胚的区域上的广义等周不等式，该不等式将填充体积替换为 $k$-扩张。设 $U$ 是 $\mathbb{R}^n$ 中与欧氏 $n$-球微分同胚的开集。我们证明在维数至少为 4 时，存在一个从半径约为 $vol(\partial U)^{1/(n-1)}$ 的标准欧氏球到 $U$ 的映射，其在边界上度为 1，且 $(n-1)$-扩张由仅依赖于 $n$ 的某个常数所界。我们还给出了维数 3 中一个开集的实例，其中找不到具有小的 $(n-1)$-扩张的此类映射。该广义等周不等式被归约为一个关于图的重浸没的定理，后者借助 Kolmogorov-Barzdin 定理与最大流最小割定理证明。维数 3 中反例的证明依赖于余面积不等式与一个简单的绕数计算。