超平面布置 Chamber 图中的边异或不等式

我们研究了超平面布置 Chamber 图中的边异或不等式。我们的研究方法为拓扑方法：将一组 chamber 关联其在欧几里得空间中的扩张，并通过由布置超平面交集所诱导的分层来估计其边边界。这为广泛的一类集合提供了一般性下界。我们证明，大小为 $\sum_{i=0}^d \binom{k}{i}$ 的凸 chamber 集合（其中 $k\ge d-1$）的边边界至少为 $\sum_{i=0}^{d-1}\binom{k}{i}$，并推测凸集合是在固定大小的所有 chamber 集合中最小化边边界的集合。我们在二维维度中验证了这一猜想。我们的主要结果是关于任意 chamber 子集的三维渐近不等式：对于处于通用位置的布置，每个占据少于固定比例的集合 $S$ 满足 $|\partial S|=\Omega(|S|^{2/3})$。由此可得，对于 $\mathbb R^3$ 中 $n$ 个处于通用位置的超平面布置，在其 Chamber 图上的懒惰简单随机游走，其 $\varepsilon$-混合时间为 $O(n^2\log(n/\varepsilon))$。