对称群中共轭不变集的等周不等式

我们证明了 $S_n$ 中大小为 $k$ 的共轭不变集的等周不等式，表明这些集的边边界必然远大于其他一些大小为 $k$ 的集（前提是 $k$ 较小）。具体而言，设 $T_n$ 表示由所有对换生成的 $S_n$ 上的 Cayley 图。我们证明，如果 $A \subset S_n$ 是一个满足 $|A| = pn! \leq n!/2$ 的共轭不变集，那么 $A$ 在 $T_n$ 中的边边界大小至少为 $$c \cdot \frac {\log_2 (\tfrac 1{p})}{\log_2 \log_2 (\tfrac 2{p})}\cdot n \cdot |A|,$$ 其中 $c$ 是一个绝对常数。（当 $p = \Theta(1/s!)$ 且 $s \in \{1,2,...,n\}$ 时，该结果在绝对常数因子意义下是紧的。）由此可知，如果 $p = n^{-\Theta(1)}$，那么测度为 $p$ 的共轭不变集的边边界必然比所有测度为 $p$ 的集的最小边边界大 $\Omega(\log n / \log \log n)$ 倍。