对称群上块置换的组合性质

置换群组合方面研究的一个主要问题是确定对称群$\Sym_n$中关于生成元集的距离。一个众所周知的情况是生成元集$S_n$由块置换组成。值得注意的是，“置换的块置换距离”是指该置换在 Cayley 图$\Cay$中与单位置换的距离，而“通过块置换对置换进行排序”等价于在$\Cay$中寻找最短路径。我们论文中的原始结果涉及关于$S_n$的$\Sym_n$块置换直径的下界和上界，以及自同构群$\Aut(\Cay)$。一项重要贡献是展示了如何从环面等价性获得$\Sym_n$上的双射映射，我们称之为\emph{环面映射}。利用环面映射的性质，我们讨论了块置换距离不变性原理在环面类中于证明 Eriksson 界时的作用。此外，我们证明了$\Aut(\Cay)$是右平移群与$\textsf{N}\rtimes\textsf{D}_{n+1}$的乘积，其中$\textsf{N}$是逐点固定$S_n$的子群，$\textsf{D}_{n+1}$是一个二面体群，其最大循环子群由环面映射生成。计算机辅助计算支持了我们的猜想，即$\textsf{N}$是平凡的。我们还证明了顶点集为$S_n$的子图$\Gamma$是一个$2(n-2)$-正则图，其自同构群为$\textsf{D}_{n+1}$。我们展示了$\Cay$的一些方面，特别是$\Gamma$拥有多达$n+1$个大小为$2$的极大团，其顶点位于这些团中的子图$\Gamma(V)$是一个$3$-正则哈密顿图，且$\textsf{D}_{n+1}$作为顶点正则自同构群忠实地作用于$V$。