单向置换、计算不对称性与畸变

计算不对称性，即变换复杂度与其逆变换复杂度之间的差异，是单向变换的核心。我们引入了一种计算不对称性函数来衡量置换的单向程度。我们还引入了群的词长不对称性函数，它是计算不对称性的代数类比。我们将布尔电路与固定生成集上的 Thompson 幺半群中的词联系起来，使得电路大小等于词长。此外，布尔电路可以用 Thompson 群的元素表示，使得电路大小与词长在多项式意义上等价。我们表明，由不受固定长度输入和输出约束的门构成的电路，其紧凑度最多比由传统门（具有固定长度输入和输出）构成的电路高二次方倍。最后，我们表明计算不对称性函数与某些畸变函数密切相关：计算不对称性函数与某些 Thompson 群的 Schreier 图中的路径长度畸变（相对于某些 Thompson 幺半群的 Cayley 图中的路径长度）在多项式意义上等价。我们还表明，Razborov 等人关于单调电路复杂度的结果导致了某些畸变的指数下界。