由块转置生成的 Cayley 图的自同构群与正则 Cayley 映射

本文处理 Cayley 图 $\mathrm{Cay}(\mathrm{Sym}_n,T_n)$，其中生成集由所有块转置组成。研究这些特殊 Cayley 图的动机来源于生物信息学中的当前研究。作为主要结果，我们证明 Aut$(\mathrm{Cay}(\mathrm{Sym}_n,T_n))$ 是左平移群与阶为 $2(n+1)$ 的二面体群 $\mathsf{D}_{n+1}$ 的乘积。证明使用了由集合 $T_n$ 诱导的子图 $\Gamma$ 的若干性质。特别地，$\Gamma$ 是一个 $2(n-2)$-正则图，其自同构群为 $\mathsf{D}_{n+1}$，$\Gamma$ 有多达 $n+1$ 个大小为 $2$ 的极大团，并且其顶点为这些团中顶点的子图 $\Gamma(V)$ 是一个 $3$-正则、哈密顿且顶点传递的图。还讨论了 $\mathsf{D}_{n+1}$ 的阶为 $n+1$ 的唯一循环子群与 $\mathrm{Sym}_n$ 上的正则 Cayley 映射的关系。结果表明，左平移群与后者的群的乘积可以作为 $\mathrm{Sym}_n$ 上一个非 $t$-平衡正则 Cayley 映射的自同构群得到。