非交换有限单群上的 7 度对称 Cayley 图

设 $\Gamma$ 为有限非交换单群 $G$ 上的连通 $7$ 度对称 Cayley 图。若 $\Gamma$ 非正规，Li 等人 [On 7-valent symmetric Cayley graphs of finite simple groups, J. Algebraic Combin. 56 (2022) 1097-1118] 刻画了群对 $(\mathrm{soc}(\mathrm{Aut}(\Gamma)/K),GK/K)$，其中 $K$ 是 $\mathrm{Aut}(\Gamma)$ 的极大非传递正规子群。在本文中，我们改进了这一结果，证明了如果 $\Gamma$ 非正规，则 $\mathrm{Aut}(\Gamma)$ 包含一个弧传递非交换单正规子群 $T$，使得 $G<T$ 且 $(T,G)=(\mathrm{A}_{n},\mathrm{A}_{n-1})$，其中 $n=7$, $3\cdot 7$, $3^2\cdot 7$, $2^2\cdot 3\cdot 7$, $2^3\cdot3\cdot7$, $2^3\cdot3^2\cdot5\cdot7$, $2^4\cdot3^2\cdot5\cdot7$, $2^6\cdot3\cdot7$, $2^7\cdot3\cdot7$, $2^6\cdot3^2\cdot7$, $2^6\cdot3^4\cdot5^2\cdot7$, $2^8\cdot3^4\cdot5^2\cdot7$, $2^7\cdot3^4\cdot5^2\cdot7$, $2^{10}\cdot3^2\cdot7$, $2^{24}\cdot3^2\cdot7$。此外，$\mathrm{soc}(\mathrm{Aut}(\Gamma)/R)=(T\times R)/R$，其中 $R$ 是 $\mathrm{Aut}(\Gamma)$ 的最大可解正规子群。