有限单群的四价 $2$-传递非正规凯莱图分类

图 $\Gamma$ 称为 $(G, s)$-弧传递的，如果 $G \le \mathrm{Aut}(\Gamma)$ 在 $\Gamma$ 的顶点集与 $s$-弧集上传递，其中对整数 $s \ge 1$，$\Gamma$ 的 $s$-弧是 $\Gamma$ 的 $s+1$ 个顶点 $(v_0,v_1,\ldots,v_s)$ 的序列，使得对 $1 \le i \le s$ 有 $v_{i-1}$ 与 $v_i$ 相邻，且对 $1 \le i \le s-1$ 有 $v_{i-1}\ne v_{i+1}$。若 $\Gamma$ 是 $(\mathrm{Aut}(\Gamma), 2)$-弧传递但不是 $(\mathrm{Aut}(\Gamma), 3)$-弧传递的，则称 $\Gamma$ 为 2-传递的。群 $G$ 的凯莱图 $\Gamma$ 称为正规的，如果 $G$ 在 $\mathrm{Aut}(\Gamma)$ 中正规，否则称为非正规的。X. G. Fang, C. H. Li 和 M. Y. Xu 证明了：若 $\Gamma$ 是有限单群 $G$ 的四价 2-传递凯莱图，则要么 $\Gamma$ 是正规的，要么 $G$ 是群 $\mathrm{PSL}_2(11)$、$M_{11}$、$M_{23}$ 和 $A_{11}$ 之一。然而，当 $G$ 是这四个群之一时 $\Gamma$ 是否正规此前未知。本文通过证明在这四个群中只有 $M_{11}$ 产生连通的四价 2-传递非正规凯莱图来回答该问题。我们进一步证明恰有两个这样的图，它们互不同构且均在文中确定。由此，任意有限单群的任意连通四价 2-传递凯莱图的自同构群被确定。