有限 $s$-测地传递有向图

本文开启了对 $s\geq 2$ 的 $(G,s)$-测地传递有向图族的研究。我们首先通过给出一个归约结果进行全局分析。设 $\Gamma$ 为这样的有向图，$N$ 为 $G$ 的极大正规子群且至少有 $3$ 个轨道。则商有向图 $\Gamma_N$ 是 $(G/N,s')$-测地传递的，其中 $s'=\min\{s,\diam(\Gamma_N)\}$，$G/N$ 在 $V(\Gamma_N)$ 上准本原或双准本原，且 $\Gamma_N$ 为有向图或无向完全图。此外进一步表明，若 $\Gamma$ 不是 $(G,2)$-弧传递的，则 $G/N$ 在 $V(\Gamma_N)$ 上准本原。另一方面，我们也考虑 $G$ 的正规子群 $N$ 在顶点集上只有一个轨道的情形。我们证明若 $N$ 在 $V(\Gamma)$ 上正则，则 $\Gamma$ 为回路，特别地每个 $s\geq 2$ 的 $(G,s)$-测地传递正规 Cayley 有向图都是回路。最后，我们研究度至多为 $5$ 或直径至多为 $2$ 的 $(G,2)$-测地传递有向图。设 $\Gamma$ 为 $(G,2)$-测地传递有向图。证明如下：若 $\Gamma$ 度至多为 $5$，则 $\Gamma$ 为 $(G,2)$-弧传递；若 $\Gamma$ 直径为 $2$，则 $\Gamma$ 是具有 Hadamard 参数的平衡不完全区组设计。