利用混合二面体群构造正规 Cayley 图及一个非 Cayley 图的新二分 $2$-弧传递图

一个\emph{混合二面体群}是指一个群 $H$,它带有两个不相交的子群 $X$ 与 $Y$,每个都是阶为 $2^n$ 的初等交换群,使得 $H$ 由 $X\cup Y$ 生成,且 $H/H'\cong X\times Y$。本文给出 Cayley 图 $\Cay(H,(X\cup Y)\setminus\{1\})$ 的自同构群等于 $H: A(H,X,Y)$ 的一个充分条件,其中 $A(H,X,Y)$ 是 $\Aut(H)$ 中 $X\cup Y$ 的集合稳定子。我们利用该判据解决了 Li、Ma 与 Pan 于 2009 年提出的一个问题,构造了完全二分图 $\K_{16,16}$ 的一个阶为 $2^{53}$ 的 $2$-弧传递正规覆盖,并证明它\emph{不是} Cayley 图。