对称群块转置直径的上界

给定对称群 ${\rm{Sym}}_n$ 的一个生成元集 $S$，每个置换 $\pi\in {\rm{Sym}_n}$ 都是 $S$ 的一个字（元素的乘积）。每个 $\pi\in{\rm{Sym}_n}$ 都关联一个正整数 $d(\pi)$，取此类最短字的长度，而 $S$-直径 $d(S)$ 是当 $\pi$ 遍历 ${\rm{Sym_n}}$ 时 $d(\pi)$ 的最大值。由 $d(\nu^{-1}\circ\pi)$ 定义的两个置换 $\pi,\nu$ 之间的距离 $d(\pi,\nu)$ 满足度量空间的公理。本文考虑 $S$ 由 ${\rm{Sym_n}}$ 的所有块转置组成的情形，并称 $d(\pi)$ 为 $\pi$ 的块转置距离。研究这一特例的一个强烈动机来自于对基因组大规模突变的研究，其中确定 $d(\pi)$ 被称为通过块转置对置换 $\pi$ 进行排序。在关于该主题的论文中，环面等价类通常起着至关重要的作用，因为当 $\pi$ 和 $\nu$ 环面等价时，$d(\pi)=d(\nu)$。该结果的证明可在 Hausen 的博士论文（未发表）中找到；见 \cite{Ha}。我们的主要贡献是从环面等价性出发，在 ${\rm{Sym}_n}$ 上获得一个保持距离不变的双射映射。利用该映射的性质，我们给出了 Hausen 结果的另一种证明，这实际上填补了 Eriksson 及其同事关于 $d(S)$ 上界证明中的空白；见 \cite{EE}。我们还重新审视了关键引理的证明 \cite[Lemma 5,1]{EE}，提供了更多细节并填补了一些空白。