高维排列数量的一个上界
组合数学
2012-07-13 v2
摘要
什么是排列的高维类比？如果我们把一个排列看作是由一个排列矩阵给出的，那么下面的定义便自然浮现：一个 n 阶 d 维排列是一个 [n]^(d+1) 的由 0 和 1 组成的阵列，其中每条“线”都包含唯一的 1。这里的一条线是指一组形如 {(x_1,...,x_{i-1},y,x_{i+1},...,x_{d+1})} 的条目，其中 y 在 1 到 n 之间，某个指标 i 在 1 到 d+1 之间，且对于所有 j ≠ i，x_j 在 [n] 中任意选取。容易观察到，一维排列就是一个排列矩阵，而二维排列则等同于一个 n 阶拉丁方。我们寻求对 d 维排列数量的一个估计。我们的主要结果是其数量的如下上界：((1+o(1))(n/e^d))^(n^d)。我们倾向于相信这实际上是正确的数量，但证明互补下界的问题仍然悬而未决。我们的主要工具是对 Bregman 关于积和式的 Minc 猜想证明的一种改编。更具体地说，我们的方法在精神上与 Radhakrishnan 对 Bregman 定理的证明非常接近。
引用
@article{arxiv.1106.0649,
title = {An upper bound on the number of high-dimensional permutations},
author = {Nathan Linial and Zur Luria},
journal= {arXiv preprint arXiv:1106.0649},
year = {2012}
}