具有 k 个逆序的排列数

设 $n\geq 1$, $0\leq t\leq {n \choose 2}$ 为任意整数。定义数 $I_n(t)$ 为 $[n]$ 上具有 $t$ 个逆序的排列数。设 $n,d\geq 1$ 和 $0\leq t\leq (d-1)n$ 为任意整数。定义多项式系数 $H(n,d,t)$ 为 $t$ 的至多 $n$ 部分、每部分不超过 $d-1$ 的合成数。在本文中，我们利用 Gröbner 基和自由分解理论给出了数 $I_n(t)$ 和 $H(n,d,t)$ 的显式公式。