排列在拉丁方中的填充

对于每一个大于 $4$ 的正整数 $n$,存在一组 $n$ 阶拉丁方,使得数字 $1,\ldots,n$ 的每一个排列恰好一次作为所给某个拉丁方的行、列、反行或反列出现。若 $n>4$ 且不为形如 $p$ 或 $2p$(其中 $p$ 为模 $4$ 余 $3$ 的素数)的数,则总存在一个 $n$ 阶拉丁方,其行、列、反行与反列均为 $1,\ldots,n$ 的互异排列,并构成一个阶为 $4n$ 的置换群。若 $n$ 为模 $4$ 余 $1$ 的素数,则亦可由线性代数的经典方法构造一组 $(n-1)/4$ 个 $n$ 阶互相正交拉丁方,使得其行、列、反行与反列均互异且构成一个阶为 $n(n-1)$ 的置换群。