具有共轭对称性的拉丁方的计数

一个拉丁方可通过对其（行、列、符号）三元组进行一致置换得到六个共轭拉丁方。若其六个共轭方中至少有两个相等，则称该拉丁方具有共轭对称性。我们对具有共轭对称性的拉丁方进行计数，并根据几种常见的等价概念对其分类。我们还在附加假设下做了类似计数，例如假设拉丁方是归约的、对角的、幂等或单幂的。我们的数据纠正了早期文献中的一个错误，并提示了若干规律，随后我们给出了其证明，包括：（1）阶为 $n$ 的半对称幂等拉丁方的同构类数目等于阶为 $n+1$ 的半对称单幂拉丁方的同构类数目；（2）设 $A$ 与 $B$ 是阶为 $n\not\equiv0\bmod3$ 的全对称拉丁方，若 $A$ 与 $B$ 是副同形的，则 $A$ 与 $B$ 是同构的。