拉丁方横截的奇偶性

我们引入横截的奇偶性概念，并用它证明在阶为 $2 \bmod 4$ 的拉丁方中，横截的数量是 4 的倍数。我们还展示了涉及 $E_1,\dots, E_n$ 的若干关系（多为模 4 同余），其中 $E_i$ 是给定拉丁方中恰好包含 $i$ 个不同符号的对角线数量。令 $A(i\mid j)$ 表示从母矩阵 $A$ 中删除第 $i$ 行和第 $j$ 列所得的矩阵。对某个固定的拉丁方 $L$，定义 $t_{ij}$ 为 $L(i\mid j)$ 中横截的数量。我们证明对所有 $a,b,c,d$ 和 $L$ 有 $t_{ab}\equiv t_{cd}\bmod2$。此外，若 $L$ 的阶为奇数，则 $L$ 的横截数等于 $t_{ab}$ mod 2。我们猜想对所有 $a,b,c,d$ 有 $t_{ac} + t_{bc} + t_{ad} + t_{bd} \equiv 0 \bmod 4$。在研究过程中，我们证明了若干在其他情境下也可能引起兴趣的结果。例如，我们证明当 $n$ 为奇数且 $k\equiv0\bmod 4$ 时，具有 $2n$ 个顶点的 $k$-正则二部图中的完美匹配数可被 $4$ 整除。我们还证明当 $A$ 是奇阶整数矩阵且所有行和与列和均等于 $k\equiv2\bmod4$ 时，对所有 $a,b,c,d$ 有 $${\rm per}\, A(a \mid c)+{\rm per}\, A(b \mid c)+{\rm per}\, A(a \mid d)+{\rm per}\, A(b \mid d) \equiv 0 \bmod 4$$。