拉丁方阵符号的平方根抵消

设 $L(n)$ 为 $n$ 阶拉丁方阵的数量，$L^{\textrm{even}}(n)$ 和 $L^{\textrm{odd}}(n)$ 分别为其中偶拉丁方阵和奇拉丁方阵的数量，使得 $L(n) = L^{\textrm{even}}(n) + L^{\textrm{odd}}(n)$。Alon-Tarsi 猜想指出，当 $n$ 为偶数时 $L^{\textrm{even}}(n)\neq L^{\textrm{odd}}(n)$（而当 $n$ 为奇数时，出于非常简单的理由两者相等）。在本简短注记中，我们证明了 $|L^{\textrm{even}}(n) - L^{\textrm{odd}}(n)|\leq L(n)^{\frac{1}{2} + o(1)}$，从而确立了如下猜想：尽管在偶数维中偶拉丁方阵和奇拉丁方阵的数量猜想上不相等，但在渐近意义上它们的主阶是相等的。文中给出了两种证明：两者均通过对 $\mathrm{SU}(n)$ 上的指数积分应用微分算子来实现。该方法受到 Kumar-Landsberg 近期结果的启发。