拉丁方及其定义集

拉丁方 $L(n,k)$ 是一个 n 阶方阵，其元素以 k 种颜色着色，使得每行或每列中所有元素颜色互异。令 $d(L(n,k))$ 为一个 $n \times n$ 方阵中已着色元素的最少个数，使得尚未着色的元素有唯一方式着色从而得到拉丁方 $L(n, k)$。本文讨论 $k=2n-1$ 与 $k=2n-2$ 时 $d(L(n,k))$ 的性质。我们对恒等式 $d(L(n, 2n-1))=n^2-n$（在 n 为偶数时成立）给出另一证明，并建立新结果 $d(L(n, 2n-2)) \geq n^2-\lfloor\frac{8n}{5}\rfloor$，且证明该下界在 n 被 10 整除时紧。