拉丁方的覆盖与部分横截

我们将拉丁方的覆盖定义为包含每行、每列及每种符号至少一个代表的条目集合。若覆盖不包含任何更小的覆盖，则称其为极小覆盖。部分横截是包含每行、每列及每种符号至多一个代表的条目集合。若部分横截不被任何更大的部分横截包含，则称其为极大部分横截。我们探究覆盖与部分横截之间的关系。我们证明如下：(1) 阶为 $n$ 的拉丁方中覆盖的最小大小为 $n+a$，当且仅当部分横截的最大大小为 $n-2a$ 或 $n-2a+1$。(2) 阶为 $n$ 的拉丁方中极小覆盖的大小至多为 $\mu_n=3(n+1/2-\sqrt{n+1/4})$。(3) 存在无穷多个阶 $n$，使得存在拉丁方具有从 $n$ 到 $\mu_n$ 的每一个大小的极小覆盖。(4) 每个阶为 $n$ 的拉丁方都有一个大小渐近等于 $\mu_n$ 的极小覆盖。(5) 若 $1\le k\le n/2$ 且 $n\ge5$，则存在阶为 $n$ 的拉丁方具有大小为 $n-k$ 的极大部分横截。(6) 对于任意 $\epsilon>0$，渐近几乎所有拉丁方都没有大小小于 $n-n^{2/3+\epsilon}$ 的极大部分横截。