关于拉丁方最小临界集的大小

$n \times n$ 阵列中的临界集是一组给定项 $C$，使得 $C$ 存在唯一的扩展到 $n\times n$ 拉丁方，且 $C$ 的任意真子集都不具有此性质。对拉丁方 $L$，$\scs{L}$ 表示 $L$ 的最小临界集的大小，$\scs{n}$ 为所有 $n$ 阶拉丁方 $L$ 上 $\scs{L}$ 的最小值。我们给出了大小为 $k$ 的部分拉丁方个数的上界，并证明 $$n^2-(e+o(1))n^{10/6} \le \max \scs{L} \le n^2-\frac{\sqrt{\pi}}{2}n^{9/6}.$$ 这改进了 N. Cavenagh（博士论文，昆士兰大学，2003）的一个结果并否定了他的一个猜想。同时也改进了先前已知的任意 $n$ 阶拉丁方最大临界集大小的下界。