拉丁方中的教学维度、VC维度与关键集

在$n \times n$拉丁方中的一个关键集是一组最小的条目，能在所有同尺寸拉丁方中唯一标识该拉丁方。Nelder于1979年猜想，后来Mahmoodian以及Bate和van Rees独立猜想，最小关键集的大小为$\lfloor n^2/4\rfloor$。我们对足够大的$n$证明了下界$n^2/10^4$，从而确认了猜想所预测的二次阶。我们对足够大的$n$证明了下界$n^2/10^4$，从而确认了猜想所预测的二次阶。这改进了Cavenagh和Ramadurai最近的下界$\Omega(n^{3/2})$。从计算学习理论的角度看，最小关键集的大小对应于拉丁方集合的最小教学维度。我们研究了学习理论中两个相关的维度概念。我们对VC维度和递归教学维度均证明了下界$n^2-(e+o(1))n^{5/3}$。