(0,1)-矩阵中临界集大小的最大值、谱与最小上界

若 $D$ 是一个部分填充的 $(0,1)$-矩阵，且能唯一补全为一个具有给定行和与列和的 $(0,1)$-矩阵 $M$，则称 $D$ 是 $M$ 的一个{\em 定义集}。{\em 临界集}是极小定义集（删去任一元素会导致多于一个补全）。我们给出 $(0,1)$-矩阵中临界集的一种新分类，并将该理论应用于 $\Lambda_{2m}^m$，即维数为 $2m\times 2m$、行和与列和均为 $m$ 的 $(0,1)$-矩阵集合。$\Lambda_{2m}^m$ 中矩阵的定义集最小可能大小为 $m^2$\cite{Cav}，而其下确界（$\Lambda_{2m}^m$ 中元素的最小定义集大小的最大值）渐近已知\cite{CR}。我们证明 $\Lambda_{2m}^m$ 中元素不存在大小大于 $3m^2-2m$ 的临界集，并且对每个满足 $m^2\leq k\leq 3m^2-4m+2$ 的 $k$，$\Lambda_{2m}^m$ 中某元素存在大小为 $k$ 的临界集。我们还给出最小上界（$\Lambda_{2m}^m$ 中元素的最大临界集大小的最小值）介于 $\lceil (3m^2-2m+1)/2\rceil$ 与 $2m^2-m$ 之间的界。