大偶数 $n$ 下 Ryser-Brualdi-Stein 猜想的一个证明

$n$ 阶拉丁方是一个 $n$ 乘 $n$ 的网格，使用 $n$ 个符号填充，使得每个符号在每行每列中恰好出现一次。拉丁方中的横截线是一组无公共符号、行或列的单元格集合。起源于 1967 年的 Ryser-Brualdi-Stein 猜想称：每个 $n$ 阶拉丁方都含有一个具 $n-1$ 个单元格的横截线，且当 $n$ 为奇数时含有一个具 $n$ 个单元格的横截线。Keevash、Pokrovskiy、Sudakov 和 Yepremyan 近期改进了该猜想长期已知的最佳界，证明了每个 $n$ 阶拉丁方都有含 $n-O(\log n/\log\log n)$ 个单元格的横截线。本文中，我们对充分大的 $n$ 证明：每个 $n$ 阶拉丁方都有含 $n-1$ 个单元格的横截线。我们还应用我们的方法证明：对充分大的 $n$，每个 $n$ 阶 Steiner 三元系都有含至少 $(n-4)/3$ 条边的匹配。这改进了 Keevash、Pokrovskiy、Sudakov 和 Yepremyan 近期得到的含 $n/3-O(\log n/\log\log n)$ 条边的匹配的结果，并在大 $n$ 下证明了 Brouwer 1981 年提出的一个猜想。