具有多种长度极大部分横截的拉丁方

拉丁方 $L$ 的部分横截 $T$ 是 $L$ 中若干项的集合，其中每行、每列和每个符号至多出现一次。部分横截若不被更大的部分横截所包含，则称为极大部分横截。阶为 $n$ 的拉丁方的任何极大部分横截的大小至少为 $\lceil\frac{n}{2}\rceil$ 且至多为 $n$。若一拉丁方拥有所有可行大小的极大部分横截，则称其为全普适的；若除一种可行大小外拥有所有可行大小的极大部分横截，则称其为近全普适的。Evans 证明了对于任意奇数 $n \neq 3$，存在阶为 $n$ 的全普适拉丁方。通过推广该结果，我们证明了阶为 $n$ 的全普适拉丁方存在当且仅当 $n\notin\{3,4\}$ 且 $n \not\equiv 2 \mod 4$。此外，我们证明了对于所有满足 $n \equiv 2 \mod 4$ 的阶，均存在近全普适拉丁方。最后，我们证明了不存在具有全普适 Cayley 表的非平凡群，且仅有 15 个群具有近全普适 Cayley 表。事实上，随着 $n$ 增大，阶为 $n$ 的群的 Cayley 表会缺失常数比例的极大部分横截可行大小。在证明过程中，我们引出了组合群论中如下有趣问题：设有限群 $G$ 有两个子集 $R,C\subseteq G$ 使得 $|\{rc:r\in R,c\in C\}|=m$。要保证存在 $G$ 中阶为 $m$ 的子群 $H$ 以及 $x,y\in G$ 使得 $R\subseteq xH$ 且 $C\subseteq Hy$，$|R|$ 和 $|C|$ 需要多大（关于 $m$ 而言）。