有限群 Cayley 表的色数

拉丁方 $L$ 的色数记为 $\chi(L)$，是指覆盖其所有单元格所需的部分横截的最小数量。已有猜想认为每个拉丁方都满足 $\chi(L) \leq |L|+2$。若成立，这将解决一个长期存在的猜想——通常归于 Brualdi——即每个拉丁方都有一个大小为 $|L|-1$ 的部分横截。我们将注意力限制在有限群的 Cayley 表上，证明了两个主要结果。首先，我们解决了有限阿贝尔群 Cayley 表的色数问题：阿贝尔群 $G$ 的 Cayley 表具有色数 $|G|$ 或 $|G|+2$，且后一种情况发生当且仅当 $G$ 具有非平凡循环 Sylow 2-子群。其次，我们给出了任意有限群 Cayley 表色数的上界。对于 $|G|\geq 3$，这将已知最好的通用上界从 $2|G|$ 改进到 $\frac{3}{2}|G|$，同时在无穷多种情况下给出了更强的结果。